Arquivos Sérgio Barreto: Dez (10) exercícios resolvidos sobre logarítmos

1) Calcule: Log₅ 625 + Log 100 - Log₃ 27?

Vamos calcular cada um dos logaritmos separadamente.

O Log₅ 625 é o expoente da potência de base 5 que resulta em 625:

Podemos resolver a equação exponencial decompondo 625 em fatores primos:

Ou seja, 625 = 5⁴, o que nos leva ao valor de x:

Pudemos calcular o valor de x desta forma, pois a a base 5 é positiva e diferente de 1. Se você não se lembra disto, convém consultar o tema equação exponencial para recordar esta matéria.

Então 4 é o Log₅ 625:

O Log 100 é o expoente da potência de base 10 que resulta em 100:

O valor de x agora é óbvio.

Como sabemos, uma potência de dez com expoente natural resulta em um número começando pelo algarismo 1 seguido de tantos zeros quanto indicado por este expoente.

Sabendo-se disto, se o número 100 possui 2 zeros após o 1, é porque o expoente da potência de base dez é igual a dois (10² = 100), isto é, x = 2.

Então 2 é o Log 100:

Por último, o Log₃ 27 é igual a 3, pois este é o expoente ao qual devemos elevar a base também 3 para obtermos 27:

Se você tem dúvidas quanto a isto, também pode decompor o número 27 em fatores primos como fizemos com o Log₅ 625.

Realizando as substituições na expressão original temos:

Log₅ 625 + Log 100 - Log₃ 27 = 3.

2) Considerando-se Log₇ 10 = 1,1833. Qual é o Log₇ 70?

Para a solução deste problema vamos recorrer à propriedade do logaritmo de um produto.

Utilizaremos esta propriedade, pois através dela podemos montar uma outra expressão com dois logaritmos conhecidos. Um é o Log₇ 10, obtido do enunciado e o outro é o Log₇ 7 que como sabemos é igual a 1.

É sabido que 70 é o produto de 7 por 10. Então temos que:

Através da propriedade do logaritmo de um produto podemos assim expressar o Log₇ 70:

O Log₇ 7 = 1 pois:

Conforme o enunciado, o Log₇ 10 = 1,1833, então substituindo tais valores na expressão, temos:

Log₇ 70 = 2,1833.

3) Calcule o Log₃ 5 sabendo que o Log₃ 45 = 3,464974?

Novamente, para solucionarmos este problema vamos recorrer a uma das propriedades dos logaritmos.
O Log₃ 45 é fornecido pelo enunciado. Precisamos de algum outro logaritmo fácil de calcular, que nos permita do Log₃ 45 chegar ao Log₃ 5.

Uma forma de partindo de 45 chegarmos a 5, é dividirmos 45 por 9.
Como podemos facilmente calcular o Log₃ 9, vamos recorrer à propriedade do logaritmo de um quociente para solucionarmos esta questão.

A partir do explicado acima podemos escrever que:

Então, recorrendo à propriedade do logaritmo de um quociente temos:

, visto que 3 elevado ao quadrado é igual a 9:

Portanto, ao substituirmos os valores conhecidos chegamos ao resultado desejado:

Log₃ 5 = 1,464974.

4) -1,494850 é um logaritmo decimal na forma negativa. Qual é a sua forma preparada?

Obtemos a característica subtraindo 1 da parte inteira (-1), resultando em -2 e a escrevemos utilizando o traço sobre a mesma, sem o sinal de negativo:

A mantissa obtemos subtraindo de 1 o número formado por "0," seguido da parte decimal 494850:

logo a mantissa é igual a 505150.

Já que a característica é igual a 2 e a mantissa é igual a 505150, o logaritmo decimal na forma preparada é igual a 2,505150.

Na forma preparada o logaritmo decimal é 2,505150.

5) Qual é a forma negativa do logaritmo decimal 1,511883?

Vamos realizar a conversão separando o número em duas partes.

A primeira parte é obtida somando-se 1 à característica 1 (-1):

Para a segunda parte subtraímos o 0,511883, referente à mantissa precedida de "0,", de 1:

Concluindo subtraímos as partes obtidas:

A forma negativa deste logaritmo decimal é -0,488117.

6) O logaritmo decimal de 0,2 é igual a -0,698970 na sua forma negativa.

Qual é o logaritmo decimal de 200?

Já que Log 0,2 está na sua forma negativa, devemos primeiramente obter a sua mantissa, visto que ela não é a parte decimal do logaritmo informado.

Já vimos que isto sempre acontece quando o logaritmando é maior que 0 e menor que 1 e no caso deste exercício o logaritmando é igual a 0,2.

Para a obtenção da mantissa do Log 0,2, simplesmente vamos subtrair 0,698970. Estamos considerando apenas os algarismos da parte decimal (698970) do logaritmo informado no enunciado, acrescentando o "0," na frente:

Portanto a mantissa do Log 0,2 é igual a 301030.

Visto que os logaritmos decimais de dois números que diferem entre si somente pela posição da vírgula, possuem a mesma mantissa, então ambos os logaritmos decimais de 0,2 e 200 possuem a mantissa 301030. O que difere neles é a característica.

Para obtermos a característica do Log 200, basta subtrairmos 1 do número de algarismos da parte inteira de 200:

Com característica igual a 2 e mantissa igual a 301030, o logaritmo decimal de 200 é igual a 2,301030.

Log 200 = 2,301030.

7) Utilizando a tábua de logaritmos calcule a raiz quadrada de 961.

Atribuindo à variável x a raiz quadrada de 961, podemos escrever a seguinte equação:

Recorrendo a logaritmos chegamos a esta equação equivalente:

Agora vamos recorrer à propriedade dos logaritmos que diz que para qualquer valor de M natural, diferente de zero, o logaritmo da raiz

na base b é igual ao produto do inverso do índice M pelo logaritmo de N, também na base b:

Aplicando a propriedade temos:

Chegamos então à seguinte equação:

Recorrendo à tábua de logaritmos vamos obter o log 961.

Para isto vamos começar procurando pela mantissa do log 9,61 que se encontra no cruzamento da linha 96 com a coluna 1, que é 982723.
Na linha 96 se encontram as mantissas dos números de três algarismos de 9,61 a 9,69, ou de 961 a 969 se você preferir.

A mantissa do log 961 é igual a 982723, já a sua característica é igual a 2, visto que este é o número de algarismos da sua parte inteira reduzida em uma unidade:

Portanto, o log 961 = 2,982723.

Desconsiderando-se os erros de arredondamento, 2,982723 é o expoente ao qual 10 deve ser elevado para obtermos 961:

Voltando à equação temos:

Note que o resultado foi arredondado em seis casas decimais, pois esté o número de algarismos que estamos utilizando nas mantissas da tábua de logaritmos.

Temos então à seguinte equação:

Já vimos que os logaritmos decimais com característica igual a 1 são de números maiores, ou iguais a 10 e menores que 100.

Então a raiz quadrada de 961 encontra-se entre os números 10 e 100, mas que número será este?
Procuremos pela mantissa 491362 na tábua de logaritmos.
Ela é encontrada na linha 31, coluna 0.

Isto quer dizer que números como 0,31; 3,1; 31 e 310, dentre outros, que diferemm entre si apenas pela posição da vírgula, possuem a mesma mantissa 491362.

Destes números relacionados, apenas o número 31 situa-se entre os números 10 e 100, portanto 31 é a raiz quadrada de 961.

Apenas para que você tenha noção disto, este procedimento todo se resume a isto:

A raiz quadrada de 961 é 31.

8) A diferença entre dois números positivos é 4207,5 e a diferença entre os logaritmos decimais destes dois números é igual a 2. Que números são estes?

Vamos chamar de M o número maior e de N o número menor.

O enunciado diz que:

Isto quer dizer que ambos os logaritmos possuem a mesma mantissa e sendo assim eles diferem entre si apenas pela posição da vírgula, significando que se dividirmos o número maior pelo número menor o resultado será igual a 10²:

Através do enunciado também sabemos que:

Podemos então montar o seguinte sistema de equações do primeiro grau com duas incógnitas:

Vamos isolar a variável M da segunda equação:

Agora vamos substituir a variável M da primeira equação:

Substituindo o valor da variável N da primeira equação:

Os números são 4250 e 42,5.

9) Calcule o Log₂₄ 6 sabendo que o Log₂₇ 6 = x que o Log₂₇ 4 = y.

Para a resolução deste problema vamos partir do princípio que:

Esta é a propriedade que nos permite realizar a mudança de base de um logaritmo.
Recorrendo a ela temos:

Como o Log₂₇ 6 = x, podemos realizar tal substituição na equação. Além disto iremos aproveitar para escrever o logaritmando 24, no denominador da fração, como o produto de 6 por 4:

Agora vamos recorrer à propriedade do logaritmo de um produto:

Já que o Log₂₇ 6 = x e o Log₂₇ 4 = y, vamos realizar estas substituições na equação:

Portanto:

10) Se o Log₆₀ 3 = x que o Log₆₀ 6 = y, qual é o Log₁₈ 2?

O objetivo desta questão é escrevermos o Log₁₈ 2 em função de x e y.
Para alcançarmos tal objetivo faremos algumas operações para que partindo do Log₁₈ 2, passemos pelos Log₆₀ 3 e de Log₆₀ 6.

Para começar vamos passar o Log₁₈ 2 para a base 60.

Para isto vamos recorrer à propriedade da mudança de base de um logaritmo:

Então para a = 2, b = 18 e c = 60, temos:

O logaritmando 2, no numerador da fração pode ser escrito como a razão de 6 para 3, assim como o logaritmando 18, no denominador da fração pode ser escrito como produto de 6 por 3. O motivo disto é nos direcionarmos aos logaritmos no enunciado:

No numerador vamos aplicar a propriedade do logaritmo de um quociente e no denominador a propriedade do logaritmo de um produto, quando aí sim, iremos obter os logaritmos no enunciado: